Η Σημασία του Αριθμού για τους Πυθαγορείους

  Η πυθαγόρεια άποψη για το σύμπαν βασιζόταν στην πεποίθηση ότι η ποικιλία του ανθρώπινου είδους και της ύλης οφειλόταν στους αριθμούς . Από τη στιγμή που, κατά τους Πυθαγορείους, τα πάντα συντίθονταν από αριθμούς, ηεξήγηση για την ύπαρξη ενός αντικειμένου βρισκόταν σε αυτούς.
Κατά τον Φιλόλαο,
pithagoras 018[και όλα τα πράγματα που είναι γνωστά έχουν αριθμό, γιατί δεν μπορεί κανείς να σκεφτεί ή να μάθει κάτι χωρίς αυτόν] καθώς επίσης και
pithagoras 019[αν δεν υπήρχε ο αριθμός, τίποτα από αυτά που υπάρχουν δεν θα ήταν σαφές, είτε από μόνο του είτε σε σχέση με άλλα πράγματα]
Οι Πυθαγόρειοι αρχικά αντιμετώπιζαν τον αριθμό με συγκεκριμένο τρόπο, δηλαδή ως σχέδια με χαλίκια. Με το πέρασμα του χρόνου, όμως, ανέπτυξαν και βελτίωσαν την έννοια του αριθμού, φτάνοντάς τη στη σημερινή αφηρημένη της μορφή. Αν και είναι δύσκολο να διακρίνει κανείς τα γεγονότα από τις φανταστικές ιστορίες σε κάποιες από τις υπάρχουσες αναφορές στους Πυθαγορείους, αναγνωρίζεται γενικά το γεγονός ότι ξεκίνησαν τη θεωρία αριθμών.

Στον Αριστοτέλη και τα Μεταφυσικά, παρατηρούμε έντονα τη σημασία που απέδιδαν οι Πυθαγόρειοι στους αριθμούς, με ιδιαίτερη έμφαση στο διαχωρισμό τους σε άρτιους και περιττούς, σε άπειρους και πεπερασμένους:
pithagoras 020[επίσης αυτοί οι άνθρωποι προφανώς πιστεύουν ότι ο αριθμός είναι η αρχή και ως ύλη πραγμάτων που υπάρχουν, αλλά και ως γνωρίσματα αυτών και ότι τα στοιχεία των αριθμών είναι το άρτιο και το περιττό (το πρώτο άπειρο, το δεύτερο πεπερασμένο)]
pithagoras 021[Και ότι ο αριθμός ένα προέρχεται κι από τα δυο τους (εννοώντας ότι είναι και άρτιο και περιττό), κι από το ένα προέρχεται ο αριθμός και ότι όλος ο ουρανός, όπως προείπαμε, προέρχεται από αριθμούς]
Τα λεγόμενα του Αριστοτέλη ενισχύονται από τον Φιλόλαο:
pithagoras 022[Η φύση μέσα στο σύμπαν εναρμονίστηκε από άπειρα και πεπερασμένα, τόσο όλος ο κόσμος, όσο και όλα τα πράγματα σε αυτόν]
Και συνεχίζει λέγοντας:
pithagoras 022[είναι απαραίτητο τα πράγματα που υπάρχουν να είναι όλα είτε άπειρα, είτε πεπερασμένα ή άπειρα και πεπερασμένα μαζί]
pithagoras 024[Αλλά δεν θα μπορούσαν να είναι μόνο πεπερασμένα ή μόνο άπειρα. Από τη στιγμή που είναι προφανές, τότε, ότι δεν μπορεί να είναι από πράγματα που είναι όλα πεπερασμένα ή όλα άπειρα, είναι ξεκάθαρο ότι ο κόσμος και τα πράγματα μέσα σε αυτόν εναρμονίζονται από πεπερασμένα και άπειρα]

pithagoras 025[Τα πράγματα, όπως φαίνεται στην πράξη, δείχνουν κάτι τέτοιο. Όσα από αυτά προέρχονται από πεπερασμένα, είναι πεπερασμένα. Όσα προέρχονται από πεπερασμένα και άπειρα, είναι πεπερασμένα και άπειρα. Όσα προέρχονται από άπειρα, είναι προφανώς άπειρα]
Κατά τον Πρόκλο και σύμφωνα με τα σχόλια αυτού στο Βιβλίο I του Ευκλείδη:
pithagoras 026[Για να βρει κανείς τις αρχές όλης της μαθηματικής ουσίας, πρέπει να ανατρέξει σε όλες αυτές τις αρχές οι οποίες γεννούν τα πάντα από τον εαυτό τους, δηλαδή το Πέρας και το Άπειρον]
pithagoras 027[Διότι αυτές, οι δύο υψηλότερες αρχές μετά την απερίγραπτη και ολοκληρωτικά ακατανόητη αιτιότητα του Ενός, δημιούργησαν οτιδήποτε άλλο, συμπεριλαμβανομένων και των μαθηματικών οντοτήτων]
pithagoras 028[Από αυτές τις αρχές προέρχονται όλα τα άλλα πράγματα με συλλογικό και υπερφυσικό τρόπο, αλλά καθώς αυτά προκύπτουν, εμφανίζονται σε κατάλληλες διαιρέσεις και τοποθετούνται στη σωστή σειρά, με κάποια να είναι πρώτα στην τάξη, κάποια στη μέση και κάποια στο τέλος]
pithagoras 029[Τα αντικείμενα του νου, λόγω της έμφυτης απλότητάς τους, είναι οι πρώτοι συμμετέχοντες στο Πέρας και το Άπειρον]
pithagoras 044[Και αντλούν τη σύμπνοιά τους, την ταυτότητά τους και τη σταθερή και επίμονη ύπαρξή τους από το Πέρας]
pithagoras 030[Από το Άπειρον αντλούν την ποικιλία τους, τη γεννητική ευφορία τους και τη θεία ετερότητα και πρόοδό τους]
pithagoras 031[Τα μαθηματικά είναι οι απόγονοι του Πέρατος και του Απείρου, όχι μόνο των πρωταρχικών αρχών, ούτε μόνο κρυμμένων νοητών αιτιών, αλλά και των δευτερευόντων αρχών που επακολουθούν]
pithagoras 032[σε συνεργασία της μιας με την άλλη, αρκετές ώστε να παράγουν την ενδιάμεση τάξη πραγμάτων και την ποικιλία που επιδεικνύουν]
pithagoras 033[Αυτός είναι και ο λόγος που σε αυτήν την τάξη πραγμάτων υπάρχουν λόγοι που προχωρούν προς το Άπειρον, αλλά ελέγχονται από την αρχή του Πέρατος]
pithagoras 034[Διότι ο αριθμός, ξεκινώντας από τη μονάδα, είναι ικανός να αυξάνεται απεριόριστα, όμως κάθε αριθμός που επιλέγει κανείς είναι πεπερασμένος]
pithagoras 035[Παρομοίως, οι ποσότητες είναι διαιρετές δίχως τέλος, όμως οι ποσότητες που διακρίνονται η μία από την άλλη συνδέονται όλες και τα μέρη μιας ολότητας είναι πεπερασμένα]
pithagoras 036[Αν δεν υπήρχε το Άπειρον, όλες οι ποσότητες θα ήταν σύμμετρες και δεν θα υπήρχε τίποτα άρρητο ή άλογο, χαρακτηριστικά τα οποία διαφοροποιούν τη γεωμετρία από την αριθμητική]
pithagoras 037[Ούτε θα μπορούσαν οι αριθμοί να επιδείξουν τη γόνιμη δύναμη της μονάδας, ούτε θα είχαν μέσα τους όλους τους λόγους, όπως τους πολλαπλάσιους ή τους επιμόριους]
pithagoras 038[Διότι κάθε αριθμός που εξετάζουμε είναι σε διαφορετικό λόγο με τη μονάδα και με τον αριθμό που προηγείται αυτού]
pithagoras 039[Κι αν έλειπε το Πέρας, δεν θα υπήρχε η συμμετρία ή η ταυτότητα των λόγων στα μαθηματικά, καμία ομοιότητα ή ισότητα χαρακτηριστικών, ούτε οτιδήποτε άλλο που να ανήκει στη συστοιχία του καλύτερου]
pithagoras 040[Δεν θα υπήρχαν καν επιστήμες που να καταπιάνονται με τέτοια ζητήματα, ούτε και σταθερές και ακριβείς έννοιες]
pithagoras 041[Έτσι, τα μαθηματικά χρειάζονται και τις δύο αυτές αρχές, όπως και τα άλλα όντα]
pithagoras 042[Ως προς τα κατώτερα όντα, αυτά που εμφανίζονται στην ύλη και φθείρονται από τη φύση, είναι αμέσως προφανές ότι σε αυτά παίρνουν μέρος και οι δύο αρχές, του Απείρου - που είναι η βάση που υπογραμμίζει τα είδη τους - και του Πέρατος, εξαιτίας των λόγων τους, των χαρακτηριστικών τους, των σχημάτων τους]

pithagoras 044[Είναι σαφές, τότε, ότι οι πρωταρχικές αρχές στα μαθηματικά είναι αυτές που προεδρεύουν όλων των πραγμάτων]

Share

Πυθαγόρειοι - Αριθμός και Αρμονία

Η Πυθαγόρεια Ταξινόμηση των Μαθηματικών Επιστημών κατά τον Πρόκλο

   Κατά τον Πρόκλο, οι Πυθαγόρειοι χώριζαν την επιστήμη των μαθηματικών σε τέσσερις κατηγορίες: την Αριθμητική, τη Μουσική, τη Γεωμετρία και την Αστρονομία. Το τετράπτυχο αυτό αποτελούσε το φημισμένο «Τετραόδιο» (λατινικά «Quadrivium»). Από αυτές, η Αριθμητική και η Μουσική σχετίζονταν με την ποσότητα, ενώ η Γεωμετρία και η Αστρονομία με το μέγεθος. Από τη μεν Αριθμητική και τη Μουσική, η πρώτη αφορούσε στην ποσότητα την ίδια και η δεύτερη στην ποσότητα σε σχέση με άλλες ποσότητες. Από τη δε Γεωμετρία και την Αστρονομία, η πρώτη είχε να κάνει με στάσιμα μεγέθη, ενώ η δεύτερη με κινούμενα.
Ο Πρόκλος αναφέρεται στον Τίμαιο του Πλάτωνα και στο γεγονός ότι ο Δημιουργός έφτιαξε την ψυχή μέσα από την ομοιότητα και τη διαφορετικότητα, χρησιμοποιώντας ταυτόχρονα ηρεμία και κίνηση. Ακόμη, παραλληλίζει τη μεν δημιουργία της ψυχής με αυτή της Αριθμητικής, καθώς θεωρεί την τελευταία αποτέλεσμα της διαφορετικότητας των λόγων, τους δε δεσμούς που τους ενώνουν με τη Μουσική. Για το λόγο αυτό, η Αριθμητική προηγείται της Μουσικής.
Επιπλέον, από τη στιγμή που υπάρχει η Αριθμητική, υπάρχουν και οι δράσεις της, δηλαδή η Γεωμετρία, η κίνηση της οποίας παράγει την Αστρονομία. Όπως η ακινησία προηγείται της κίνησης, έτσι και η Γεωμετρία προηγείται της Αστρονομίας.
Στα σχόλιά του στο Βιβλίο I των Στοιχείων του Ευκλείδη, ο Πρόκλος ταξινομεί τις μαθηματικές επιστήμες ως εξής:
pithagoras 001[Καλό θα ήταν να διακρίνουμε τα είδη των μαθηματικών επιστημών και να ορίσουμε ποια και πόσα είναι]
pithagoras 002[Διότι μετά τη γενική τους μορφή είναι αναγκαίο να αναλογιστεί κανείς τις πολύ συγκεκριμένες διαφορές μεταξύ των ειδικών επιστημών]
pithagoras 003[Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ότι όλη η μαθηματική επιστήμη διαιρούταν σε τέσσερα μέρη: τα ξεχώρισαν κατά το ήμισυ σε αυτά που αφορούσαν στην ποσότητα [ποσόν] και κατά το άλλο ήμισυ σε αυτά που αφορούσαν στο μέγεθος [πηλίκον]]
pithagoras 004[Και καθένα από αυτά το χώριζαν σε δύο μέρη. Μια ποσότητα μπορεί να θεωρηθεί σε σχέση με τον ίδιο της το χαρακτήρα ή σε σχέση με μια άλλη ποσότητα, τα δε μεγέθη είτε ως στάσιμα ή ως κινούμενα]
pithagoras 005[Η αριθμητική μελετά την ίδια την ποσότητα, η μουσική τις σχέσεις μεταξύ των ποσοτήτων, η γεωμετρία τα μεγέθη σε ακινησία και η αστρονομία τα μεγέθη σε κίνηση]
pithagoras 006[Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν την ποσότητα και το μέγεθος όχι απλώς ως ποσότητα και μέγεθος, αλλά ορισμένα]
pithagoras 007[Διότι λένε ότι οι επιστήμες μελετούν το ορισμένο αφαιρούμενο από τις άπειρες ποσότητες και τα άπειρα μεγέθη, γιατί είναι αδύνατο να κατανοηθεί η απειρία μέσα από αυτά]
pithagoras 008[Από τη στιγμή που αυτός ο ισχυρισμός έγινε από ανθρώπους που έφτασαν την κορυφή της σοφίας, δεν απομένει σε μας παρά να απαιτήσουμε να μάθουμε περί ποσότητας στα αισθητά αντικείμενα και περί μεγέθους στα σώματα]
pithagoras 009[Η περιοχή που εξετάζει κανείς αυτά τα θέματα, νομίζω, είναι η επιστήμη της φύσης και όχι τα ίδια τα μαθηματικά]

pithagoras 010
[Τώρα, όπως μας δίδαξε και ο Τίμαιος, ο Δημιουργός πήρε στα χέρια του την ενότητα και τη διαφορετικότητα στο σύμπαν, και το μίγμα της ομοιότητας και της διαφορετικότητας ώστε να συμπληρώσει τη φύση της ψυχής, και την κατασκεύασε μέσα από αυτά τα είδη, μαζί με ηρεμία και κίνηση]
pithagoras 011
[ας πούμε ότι οφείλεται στην ετερότητα, δηλαδή στην πολλαπλότητα και τη διαφορετικότητα των λόγων σ’ αυτή, το γεγονός ότι η κατανόηση προβάλλει τους αριθμούς και τη γνώση των αριθμών, η οποία είναι αριθμητική]
pithagoras 012[Και χάρη στην ενότητα και την πολλαπλότητά της , καθώς και στην ολότητα του δεσμού που τη συγκρατεί, προβάλλει τη μουσική]
pithagoras 013[Γι’ αυτόν το λόγο η αριθμητική είναι παλαιότερη από τη μουσική, μια και η ψυχή διαιρέθηκε πρώτα από το Δημιουργό και ύστερα συνδέθηκε με τους λόγους, με τον τρόπο που εξηγεί ο Πλάτων]
pithagoras 014[Επίσης, από τη στιγμή που οι δράσεις της πηγάζουν σταθερά από την ίδρυσή της, η αριθμητική παράγει τη γεωμετρία μέσα από την ίδια τη φύση της, δηλαδή το ουσιώδες σχήμα και τις δημιουργικές αρχές όλων των σχημάτων, ενώ χάρη στην κίνησή της παράγει την αστρονομία]
pithagoras 015[Γιατί αυτή, η ίδια, περιστρέφεται σε κύκλους αλλά παραμένει πάντα στους ίδιους, λόγω των αιτιών του κύκλου, της ευθείας γραμμής και της περιφέρειας του κύκλου]
pithagoras 017[Έτσι, η γεωμετρία βρίσκεται πριν την αστρονομία, καθώς η ακινησία προηγείται της κίνησης]
pithagoras 016[Αυτή, λοιπόν, είναι η θεωρία των Πυθαγορείων και η τετραμερής διαίρεση των μαθηματικών επιστημών]

Share

Μουσική και Μαθηματικά

«Σχέση Μαθηματικών και Μουσικής μέσω Αρχαίων Ελληνικών Kειμένων»

ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η σημασία της μουσικής για την καθημερινή ζωή των αρχαίων Ελλήνων είναι αναμφισβήτητη. Οι πληροφορίες που αντλούμε από τους μουσικογράφους αλλά και από μια πληθώρα άλλων πηγών της αρχαίας ελληνικής γραμματείας (κείμενα φιλοσοφικά, ιστορικά, ποιητικά και άλλα) είναι υπεραρκετές για να πειστούμε ότι δεν υπήρχε καμία εκδήλωση της ζωής των αρχαίων Ελλήνων που να μην συνοδευόταν από μουσική. Όλες οι θρησκευτικές τελετές – θυσίες, σπονδές, πομπές – είχαν τα τραγούδια τους. Στις μεγάλες γιορτές γίνονταν παραστάσεις δράματος, όπου συμμετείχαν πολλοί μουσικοί. Ακόμη και στους αθλητικούς αγώνες συχνά υπήρχαν παράλληλοι μουσικοί διαγωνισμοί. Αλλά και οι στιγμές της ιδιωτικής ζωής των πολιτών δεν ήταν χωρίς μουσική. Υπήρχαν ειδικά τραγούδια για τα πολύ σημαντικά γεγονότα της ζωής, όπως είναι ο γάμος ή ο θάνατος, αλλά και για καθημερινές ασχολίες, όπως οι αγροτικές εργασίες, ή για εξαιρετικές περιπτώσεις, όπως τα συμπόσια. Η μουσική ήταν πανταχού παρούσα.

Αν και μέσα από μια πληθώρα θεωρητικών κειμένων μπορούμε να  αντλήσουμε πολλές πληροφορίες για το είδος και τη δομή της αρχαίας ελληνικής μουσικής, μας λείπει το πιο ουσιαστικό, η ίδια η μουσική, αφού έχει χαθεί ο ήχος, στοιχείο απολύτως απαραίτητο για την ύπαρξή της.
Ωστόσο, κρίνεται σκόπιμο να διευκρινίσουμε σε τι είδους μουσική αναφερόμαστε, μια και η αντίληψη που είχαν οι αρχαίοι Έλληνες για τη μουσική δεν ταυτίζεται με αυτή που έχουμε εμείς σήμερα. Όταν μιλάμε για μουσική στη δυτικοευρωπαϊκή παράδοση, σκεφτόμαστε κατά πρώτο λόγο την οργανική μουσική που συνοδεύει κάποιο τραγούδι. Τέτοιου είδους μουσική, τουλάχιστον μέχρι και την εποχή του Πλάτωνα, ήταν αδιανόητη. Γι’ αυτούς, ο όρος «μουσική» είχε πολύ ευρύτερο περιεχόμενο και αναφερόταν σε ένα είδος τέχνης που ήταν συνδυασμός λόγου, μελωδίας και κίνησης. Η αλληλεπίδραση της μουσικής και της ποίησης ήταν τόσο μεγάλη και τόσο ζωντανή για τους Έλληνες, ώστε η εσωτερική συνένωση της τέχνης του ήχου και της ποίησης αποτελεί την ουσιαστική έννοια της μουσικής.
«Μουσική», επομένως, ήταν μια πρωταρχική και αδιάλυτη ενότητα μουσικής και λόγου στο στίχο, φαινόμενο που σήμερα δεν υπάρχει πια. Από την άλλη μεριά, όταν σήμερα μιλάμε για μουσική, έχουμε κατά νου τρία δομικά στοιχεία: τη μελωδία, το ρυθμό και την αρμονία. Ωστόσο, στην αρχαία ελληνική μουσική συμπεριλαμβάνονταν ο ρυθμός και η μελωδία, αλλά όχι η αρμονία με τη νεότερη σημασία του όρου.
Στην παρούσα εργασία, θα προσπαθήσουμε να δώσουμε μια εικόνα για την αντίληψη που είχαν οι ίδιοι οι αρχαίοι Έλληνες για τη μουσική, όχι όμως ανατρέχοντας στις πληροφορίες των θεωρητικών της μουσικής, για την κατανόηση των οποίων θα απαιτούνταν εξειδικευμένες γνώσεις. Αυτό θα γίνει μέσα από το πρίσμα των διαμορφωτών της κοινής γνώμης της εποχής, των φιλοσόφων, με σαφή εστίαση στους Πυθαγορείους, οι οποίοι ήταν οι πρώτοι που έθεσαν τις βάσεις για μια ουσιαστική συζήτηση για τη μουσική.

Οι ρίζες των ελληνικών επιστημών της ακουστικής και των αρμονικών φτάνουν στον 5ο π.Χ. αιώνα, ίσως ως και τον 6ο. Οι Πυθαγόρειοι δεν μελετούσαν τη μουσική για την ίδια τη μουσική. Οι έρευνές τους πάνω στις αρμονικές προέκυψαν από την πεποίθηση ότι το σύμπαν βρίσκεται σε τάξη, ότι η τελειότητα της ανθρώπινης ψυχής εξαρτάται από αυτή την αντίληψη και την προσαρμογή του ανθρώπου στην τάξη αυτή και, τέλος, ότι το κλειδί για την κατανόηση της φύσης του σύμπαντος είναι ο αριθμός. Όσον αφορά τη μουσική, αυτή υπεισέρχεται στην παραπάνω θεώρηση με την ανακάλυψη ότι οι σχέσεις μεταξύ των νοτών μιας μελωδίας μπορούν να εκφρασθούν μέσα από μια πολύ απλή μαθηματική φόρμουλα. Τα μήκη δύο τμημάτων μιας χορδής τα οποία δίνουν νότες που διαφέρουν κατά μια οκτάβα είναι σε λόγο 2:1, ενώ ο λόγος 4:3 παράγει μια τετάρτη και ο 3:2 μια πέμπτη. Αυτές οι βασικές αρμονικές σχέσεις είναι ταυτόχρονα βασικές μαθηματικές σχέσεις και ενισχύουν τη θέση ότι όλα τα αρμονικά διαστήματα είναι τέτοια, λόγω των μαθηματικών τους ιδιοτήτων. Επομένως, η τάξη που υπάρχει στη μουσική είναι μαθηματική τάξη και οι αρχές που τη διέπουν είναι κι αυτές μαθηματικές. Ακόμη, από τη στιγμή που αυτές οι αρχές οικοδομούν ένα όμορφο και ικανοποιητικό σύστημα οργάνωσης, ίσως είναι αυτές οι μαθηματικές σχέσεις - ή κάποια επέκτασή τους - που κρύβεται πίσω από την αξιοθαύμαστη τάξη του κόσμου και της ανθρώπινης ψυχής.

Για τους περισσότερους «Πυθαγόρειους» συγγραφείς, η μελέτη των νοτών είναι μέρος μιας πολύ μεγαλύτερης μελέτης και σχεδιάστηκε για να δείξει πώς οι ίδιες αρχές διέπουν τις αρμονικές σχέσεις μεταξύ των στοιχείων όλων των σημαντικών δομών στον κόσμο. Το σύμπαν και τα μέρη αυτού είναι όλα μέρη ενός σχεδίου που διέπεται από μαθηματική τάξη. Αυτή η ιδέα προσεγγίστηκε με πολλούς και διαφορετικούς τρόπους, αλλά οι διάφορες μελέτες του Φιλόλαου, του Αρχύτα, του Πλάτωνα, του Θέωνα, του Νικόμαχου προέρχονται όλες από την ίδια πεποίθηση: στα μαθηματικά και ιδιαιτέρως στις μαθηματικές αρμονικές βρίσκεται το κλειδί για τη λογική οργάνωση του σύμπαντος.
Πέρα από τις έννοιες του αριθμού, της αρμονίας και της «μουσικής των σφαιρών», όπως αυτές προκύπτουν μέσα από τα αρχαία ελληνικά κείμενα, ο αναγνώστης θα έχει την ευκαιρία να αντλήσει πληροφορίες για τη σύνδεση της μουσικής με την ασυμμετρία, όπως αυτή μελετήθηκε και παρουσιάστηκε από τον καθηγητή Σ. Νεγρεπόντη. Πιο συγκεκριμένα, ο Σ. Νεγρεπόντης επιχειρηματολογεί
για το γεγονός ότι η απόδειξη της αρρητότητας του √2 είναι ειδικής φύσεως και διαφορετική από αυτή που εμείς γνωρίζουμε. Στη συνέχεια, στηρίζει την άποψη ότι η πρώιμη αριθμητική θεωρία των λόγων σχετίζεται άμεσα με τα ακουστκά πειράματα, ενώ παρακάτω εξηγεί πώς η προσπάθεια εύρεσης ενός κοινού μουσικού μέτρου οδήγησε, μέσω της άπειρης ανθυφαιρετικής διαδικασίας, στο συμπέρασμα ότι το διάστημα μιας οκτάβας κι αυτό του «διαπέντε» είναι ασύμμετρα, σύμφωνα με τον ορισμό 2, στο βιβλίο Χ των «Στοιχείων» του Ευκλείδη.
Τέλος, συσχετίζει τα δύο μουσικά μέτρα (τόνος, δίεση) και την αρμονική ανθυφαίρεση με τα δύο γεωμετρικά μέτρα (διαγώνιος, πλευρά) και τη γεωμετρική ανθυφαίρεση, μεταφέροντας έτσι τη μέθοδο της ανθυφαίρεσης από την αρμονία στη γεωμετρία.
Επίσης, στην παρούσα εργασία θα έχει κανείς τη ευκαιρία να πληροφορηθεί για τις σωζόμενες διηγήσεις, οι οποίες μαρτυρούν το γεγονός ότι η αρχική ιδέα για τη μαθηματική τεκμηρίωση της μουσικής προήλθε από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Ένα επιπλέον στοιχείο που παρατίθεται, είναι η κατασκευή της πυθαγόρειας μουσικής κλίμακας και το πέρασμα από την επτάχορδη στην οκτάχορδη λύρα, όπως επίσης και ο χωρισμός της οκτάβας σε τόνους και διέσεις από τον Φιλόλαο. Μια ακόμη εκδοχή κατασκευής της μουσικής κλίμακας, αυτή τη φορά με τη βοήθεια των μέσων, παρέχεται από τον Ε. Σταμάτη και καταγράφεται στις σελίδες αυτής της εργασίας.

Τέλος, στις επόμενες σελίδες, θα παρουσιάσουμε την «Κατατομή Κανόνος», ένα έργο κατά πάσα πιθανότητα του Ευκλείδη, όπως αυτό αποδόθηκε από τον καθηγητή Χ. Σπυρίδη, καθώς και κάποια σχόλια και παρατηρήσεις του ιδίου αλλά και άλλων σύγχρονων μελετητών, όπως ο Andrew Barker και ο Andrew Barbera.
Πρόκειται για ένα έργο που δείχνει πώς οι προτάσεις των αρμονικών μπορούν να αποδειχθούν ως μαθηματικά θεωρήματα, δεδομένων κάποιων υποθέσεων σχετικά με τη φυσική διάσταση των μουσικών φαινομένων.

 

Εισαγωγή
ΜΕΡΟΣ Α΄: ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ, ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΑ
Η Πυθαγόρεια Ταξινόμηση των Μαθηματικών Επιστημών κατά τον Πρόκλο  
Η Σημασία του Αριθμού για τους Πυθαγορείους
Η Έννοια της Αρμονίας
Η Αρμονία των Σφαιρών
Η Τετρακτύς  
ΜΕΡΟΣ Α΄: ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΚΑΙ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ
Η Αρρητότητα του √2  
Η Πυθαγόρεια Αριθμητική  
Τα Ακουστικά Πειράματα  
Η Προέλευση της Αριθμητικής Θεωρίας των Λόγων
Η Αναζήτηση ενός Κοινού Μουσικού Μέτρου  
Η Επτάχορδη Λύρα και η Πυθαγόρεια Κοσμολογία  
Η Οκτάχορδη Λύρα και η Μουσική Κλίμακα
Η Μουσική Κλίμακα του Φιλολάου
Η Περιγραφή της Μουσικής Κλίμακας από τον Ε. Σταμάτη
Η Αρμονική Ανθυφαίρεση
Από την Αρμονία στη Συμμετρία  
ΜΕΡΟΣ Β΄: «ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΚΑΤΑΤΟΜΗ ΚΑΝΟΝΟΣ»
Ποιος ήταν ο Ευκλείδης
Κάποια στοιχεία για το έργο - Andrew Barker vs. Andrew Barbera  
Εισαγωγή  
Προτάσεις
Ο Στόχος του Έργου
Αναφορές

 

 

Share

Radio GreekSound Live

radio 200
Δεύτερο Πρόγραμμα

 

Facebook

Twitter

Ελληνική Μουσική και Όργανα

Νταούλι

Νταούλι

Ελληνικά λαϊκά μουσικά όργανα Μεμβρανόφωνα Νταούλι Γνωστό ήδη από τους...

Δελτία ενημέρωσης

Εγγραφείτε στην λίστα ενημέρωσης στην ιστοσελίδα www.mousikorama.gr μείνετε ενημερώμενοι για τα μουσικά νέα, συνεντεύξεις και μουσικά άρθρα.

Radio Greek Sound Live